您是否想過這樣一個問題，資產管理公司在給予投資人配置建議時，是拍腦而出的結果，亦或是經過深思熟慮後敲定的方案？是定性分析還是定量分析？若是定量分析，其中的數據源自何方又是否可靠？其實，時至今日，整個資產配置理論都源自於72年前一個25歲的年輕人發表的一篇論文中，博盾今天帶您通過具體的實例來一探究竟。

摘要

• 哈利·馬可維茲憑藉1952年發表的《證券投資組合選擇》獲得諾貝爾經濟學獎，推廣了基於數學模型上風險和回報之間的量化關係理解，對資產管理和個人投資決策產生了深遠的影響
• 現代投資組合使用均值以及變異數來對收益與風險進行刻畫，均值即投資組合各資產的加權平均回報，變異數則是數據本身的離散程度，計算投資組合變異數時還要考慮各資產權重以及相關性
• 馬可維茲發現的規律顯示將多項資產組合到一起，可以對沖掉部分風險而不降低平均的預期收益率。 通過優化資產間的相關性可以調整投資組合的風險，從而達到理想的收益--風險組合
• 有效前沿理論可以用來表示不同風險水準下可以獲得的最高預期回報，從而幫助投資者在風險和回報之間做出最優的平衡選擇。 計算需要使用包括拉格朗日乘數法或序列最小平方法在內的數值優化技術，如今多用程式設計代替計算過程
• 有效前沿理論雖為投資組合配置提供理論最優解，但依賴歷史數據預測未來、忽視多種風險類型及交易成本，並假設收益高斯分佈（常態分佈），現實中需更細緻分析及策略調整

現代投資理論

哈利·馬可維茲被譽為“現代投資理論之父”，這一稱號源於他對現代投資組合理論（Modern Portfolio Theory， MPT）的開創性貢獻，並徹底改變了後世對投資風險和組合管理的理解與實踐。  

上世紀50年代，馬可維茲在芝加哥大學撰寫其經濟學博士論文時，發現傳統投資理論通常聚焦於單一資產的選擇和分析。 他認為這種方法忽視了資產間潛在的相互作用和整體投資組合的風險特性，並開始將概率論和統計學應用於金融當中。 1952年馬可維茲在頂級期刊The Journal of Finance正式發表共14頁的論文《證券投資組合選擇》（《Portfolio Selection》），隨著技術發展該理論逐漸被證券市場驗證，馬可維茲也在1990年憑藉該理論被授予諾貝爾經濟學獎。  

如下是《證券投資組合選擇》具有劃時代意義的一些發現：

1. 風險與回報的關係

投資者在選擇投資組合時不僅要考慮預期回報，還要考慮風險，而風險可以通過統計學中的變異數來量化。

2. 投資組合的多樣化

通過將資金分配到不同類別的資產上，投資者可以降低整體投資組合的風險。 即今天所謂的“不要把雞蛋放在同一個籃子中”。

3. 共變異數和資產相關性

共變異數即不同資產回報之間的相關性。 通過選擇彼此之間共變異數較低的資產組合，可以進一步降低投資組合的總體風險。

4. 有效前沿（Efficient Frontier）

有效前沿是一條曲線，表示在不同風險水準下可以獲得的最高預期回報，從而幫助投資者在風險和回報之間做出最優的平衡選擇。

5. 優化投資組合的構建（Portfolio Optimization）

在給定的風險水準下實現最大化的預期回報是優化投資組合的最終目標，過程中涉及到複雜的數學計算和統計分析。

投資組合的均值與變異數

現代投資組合使用均值以及變異數來對收益與風險進行刻畫，所謂均值指的是投資組合的預期回報，代表了投資者預期在一定時間內從投資組合中獲得的平均收益率，由單個資產的期望收益率加權平均而計算得出。

變異數則衡量了實際收益率和均值的背離，即整體數據的離散程度。 但計算整體投資組合變異數時並不能同計算收益率一樣簡單加權，其中還涉及到不同資產之間的相關性，在數學中使用共變異數表示。 我們來使用如下的例子說明：

假設A先生的投資組合中有蘋果、波音、麥當勞、以及英偉達四檔股票標的，A先生找到博盾想知道未來一年等權持有這些股票的收益率以及風險，分析師根據2000年至2018年資料庫中每個交易日各個標的的收盤價得到如下數據：

其中，投資組合期望收益率 = 投資組合均值 E（Rp） = 30% * 25% + 18% * 25% + 13% * 25% + 42% * 25% = 25.75%，即將單個股票十八年的平均年化收益率乘上權重得出。  

計算投資組合的變異數時，馬可維茲提出，投資組合的風險並不是單純的將各種資產的風險相加，而是要考慮它們之間的相關性，也就是說在這種情況下1+1並不等於2。 通過操縱資產間的相關性可以操縱投資組合的風險，從而達到一個我們想要的收益--風險組合。  

這也是為什麼我們建議投資者進行多資產分散配置，馬可維茲發現的規律顯示將多項資產組合到一起，可以對沖掉部分風險而不降低平均的預期收益率。 例如同我們在2023年7月26日的市場觀察中提到，“從圖中可以看出，多資產類別投資組合（三角形、菱形和圓形）普遍優於單一資產類別投資組合（方形），因為它們能夠在左上方（低波動度高回報）區域集中，而單一資產類別投資組合則分散在右下方（高波動度低回報）區域。 這意味著多資產類別投資組合能夠提供更高的風險調整後收益率，也就是夏普比率（Sharpe ratio），它是用超額收益率除以波動度來衡量每承擔一單位風險所獲得的收益。 ”

根據2000年至2018年的交易數據，我們計算出了各資產之間的相關係數如下，可以從第一列的數據觀測到，蘋果與波音以及麥當勞的日收益率相關性為負，即通常蘋果股價上升時，波音以及麥當勞股價下跌可能性較大，而英偉達在蘋果股價上漲時通脹也會上漲。 因此在A先生的投資組合中，四檔標的的價格變動趨勢相反，從而可以降低整體的風險。

投資組合變異數的計算公式較為複雜，我們在此不做贅述，簡單而言需要考量投資組合內的配置權重以及上表顯示的各資產間相關性，最終A先生股票投資組合的標準差為27.44%，遠低於四檔股票標準差簡單加權出的39%，也說明股票的分散投資使得整體組合的波動度降低。

經此可以看到，在蘋果、波音、麥當勞、英偉達等權重的投資組合中，假設2000-2018年的股價走勢能夠反應未來趨勢，我們最終投資組合的收益率25.75%比單獨持有波音18%收益更高，同時風險更低。

有效前沿與均值-變異數模型

在如上等權重的投資組合中，投資組合能夠達到比持有單個資產更好的經風險調整后的回報，而博盾在管理每個投資組合的終極目標則是在給定的收益水準下，尋求能使得投資組合風險最小的資產配置方式（或在給定風險下，最大化收益率）。

馬可維茲的論文中提出有效前沿理論來解決這一難題，即使用如下公式計算資產組合的最小變異數（即風險），同時滿足預期回報和投資權重的約束條件，進一步的計算需要數值優化技術（比如拉格朗日乘數法或序列最小平方法），如今多使用程式例如Python代替。

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A先生的投資組合求解后可以得到如下圖片，其中橫軸代表了風險，縱軸表示收益。 圖中共有25000個藍點，每一個藍點代表一個投資組合，每一個組合對應了一個收益和風險。 而在每一個收益水準下，風險最小的組合則正是位於黑色的邊界上，原因是沒有比它們更靠左的點產生。 這一條線段被馬可維茲稱為有效前沿。

這張圖中還有兩個特殊點——綠色星星的最小波動度點（Minimum Volatility）和紅色星星的最大夏普比率點（Maximum Sharpe Ratio）——有其獨特的意義：

• 最小波動度點：這個點表示有效前沿上波動度（風險）最低的投資組合。 對於風險厭惡的投資者來說，這是一個關鍵的點，因為它代表了風險最小化的同時仍然能獲得收益的投資組合
• 最大夏普比率點：夏普比率是一個通過比較投資組合的超額回報（即超過無風險回報率的部分）與其波動度來衡量投資性能的指標。 最大夏普比率點代表的投資組合在單位風險承擔的情況下提供了最高的超額回報，對於希望在承擔一定風險的情況下最大化收益的投資者來說，這個點非常重要

因此，在最終的配置中，假設A先生厭惡風險，博盾會建議11.57%配置蘋果、26.16%配置波音、62.17%配置麥當勞、0.10%配置英偉達的方案，年化收益率目標為16.30%，波動率接近20.5%。  

不過鑒於股票本身是整體投資組合資本升值的最大動能，為達到最大的經風險調整后的收益，可以考慮33.21%配置蘋果、24.66%配置波音、21.51%配置麥當勞、20.62%配置英偉達的方案，年化收益率目標為25.86%，波動率為27.39%。  

均值-變異數模型的局限性

如上為A先生配置的股票方案在理論上達到了投資組合能夠達到的最高收益與最低風險，不過實際情況中博盾的分析師還需要將更多的因數考量進模型的搭建中，模型本身也存在一些局限性。  

首當其中的便是該模型依賴歷史回報和共變異數作為未來預期的基礎，歷史表現並不總是未來結果的可靠指標，如果未來市場行為與歷史數據不符，真實風險可能會被低估或高估。 因此，在抓取數據時還要考慮到資產與過去是否有根本性的變化，譬如如今英特爾在人工智慧快速發展的時代是否還能複製過去的收益率與波動度表現有待商榷。  

其次模型主要使用股價變異數作為風險，但忽視了流動性風險、信用風險、運營風險等其他形式的風險。 此外交易成本、稅收和其他摩擦成本也都可能顯著影響投資組合回報。

最後，相關的計算通常假設回報遵循高斯分佈，從而一定程度上簡化了計算。 然而，金融回報常常表現出峰度、偏度和其他非高斯分佈的異常，一些極端事件也會對投組組合回報產生不成比例的影響。

不過所有的金融模型都存在擬合中的偏差，從而導致投資組合在回測中和樣本外的數據產生位移。 我們認為，均值-變異數模型可以幫助投資者在建立資產組合時有可以參考的數據，後續組合的實際表現仍然需要通過每季度的調倉、配置的擇時以及倉位的基本面分析進行優化。